水面的简单渲染 – Gerstner波

        渲染三维场景时经常会遇到需要渲染各种水体的情况,比如湖泊、河流、海洋等,不仅需要水体表面要有接近真实的随时间而变化的波动,还要有令人信服的颜色、反射光、透明度等细节。实时渲染水面的方法有很多,从简单的若干正弦波叠加,到《GPU Gems》中介绍的叠加Gerstner波的方法,再到如今GPU在线计算FFT得到表面高度,都是以追求效果更加逼真的同时保证计算的高效实时。我用OpenGL实现了通过合成Gestner波产生水波的方法,具体过程如下。


开发环境

Windows 7 x64,Visual Studio 2010,OpenGL版本3.0,GLSL版本1.3。

freeglut 2.8.1,GLM 0.9.5.1。GLM用于产生模型视图矩阵、透视投影矩阵和法线变换矩阵。


正弦函数波

        在一些数学书中介绍正弦函数时会提到“理想情况下的水波是正弦形状的”,但实际上,单独的水波应该是波峰尖、波谷宽的。如果用正弦波来表现这样的效果,可以选择如下变换:

equation-1        由于正弦函数的值域是[-1,1],缩放到[0,1]区间,再做幂运算,会使函数值减小,而且距离0越小的值减小得越多。这样就能产生波峰尖、波谷宽的形状。

        下面是一组k分别等于1.0,1.5和2.0时的情况,可见k越大(k>=1),形状就越明显。

sin-multi

        但是只有一个参数决定这种形状过于简单,而且在CG中希望在细节多的地方(波峰)网格点较密集,在细节少的地方(波谷)网格点较稀疏。用正弦函数绘制时,如果想提高细节,只能整体提高x的细分程度,也会在波谷处增加大量的多余计算。


Gerstner波

        Gerstner波的诞生早于计算机图形学(CG),它最初在物理中用于水波的模拟。由于它的形状比较真实,而且计算量不大,所以被广泛用于CG中水波的模拟。

        Gerstner波以参数方程的形式给出:

equation-2        自变量为p,参数Q、D、A用来控制形状。Q控制波峰的尖锐度,D控制波长,A为振幅。

gerstner-single
        Q应为较小的值,若Q很大,会在波峰处产生环,破坏波的形状。比如:

gerstner-circle        观察x(p)的表达式可以看出,与正弦波相比,Gerstner波在波峰处的点更紧凑,在波谷处更稀疏:

gerstner-and-sin


波的合成

        为了产生真实的水面,需要把若干不同方向、不同参数的Gerstner波合成为一个波。即:

equation-3        在三维空间中绘制水波这样高度值频繁变化的面时,一般采用规则网格来绘制,即在x-y平面上画一张均匀的网格,对网格上的每一个点计算它的高度值(z值),这样就产生了一张高低起伏的面。随着时间的变化,每个点的高度也随之变化,就产生了动态的面。

        为了把这张网格与二维的Gerstner波结合起来,需要进行如下转换:

        假设二维Gerstner波表示为y=f(x),三维网格表示为z=g(x,y)。则:

1564654

        (x0,y0)表示波的起点,theta角表示波传播的方向。

grid        初始时,网格上每点的高度设为0,每叠加一个波,就根据上面的式子计算出一个高度,加在z上。计算完所有的波后,就实现了多个波的叠加。

        由于Gerstner参数方程也在改变x(即上图的d),直接应用原式计算会增加复杂度。同时,为了尽可能地减小计算量,我采用两种固定形状的Gerstner波,每种波用11对坐标表示,计算f(x)时只需要在这11个点中计算线性内插即可。

两种波形。第一个波峰较尖,用来绘制细小的水波,第二个波峰较宽,用来绘制波长较长的水波。

线性内插函数:

用一个结构体来保存时间和每个波的波长、振幅、方向、频率和起始坐标:

计算每个网格点的z值:


法线的计算

        为了计算光照,需要知道每个顶点的法线方向。法线是根据网格上相邻4点的坐标计算的。

normal        由于每个点与四个网格面相邻,每个面有独立的法线,所以应该把4个面的法线的均值作为这个顶点的法线。所谓的“均值”就是把4个规范化的法线相加在除以4。CG中涉及法线的计算一般都需要在计算前规范化法线向量(使其长度为1),但因为每个网格面在x和y方向上的尺寸相同,所以法线不需要规范化就可以相加,只对加和后的法线做一次规范化即可。这样就减少了四次规范化和一次除法。

equation-5规范化函数:

        这个函数里需要注意的是,由于使用浮点数进行计算,在小数点后第8位开始容易产生误差,如果输入向量每个分量都很小,则很难保证计算结果的正确性;同时,如果输入向量的长度很小,则需要先把输入向量扩大10000倍,再进行计算,以减小误差对计算结果的影响。这个函数还支持原地计算(即输入和输出为同一个向量),适用范围是很广的。

法线计算形式如下:


网格的绘制

        最初编写代码时,我考虑过在vertex shader中计算网格坐标和投影矩阵,但在vertex shader中无法读取相邻点的坐标,不能用上面的方法计算法线。我改用根据gerstner_pt_a[]和gerstner_pt_b[]计算单个波的法线,再合成每个波的法线来近似顶点的法线(在理论上是不严谨的),但由于GLSL 1.3没有现成的对矩阵求逆的函数(inverse()在GLSL 1.5才开始支持),从而无法快捷地获得NormalMatrix,不能得到正确的法线方向。所以只好放弃,采用离线计算网格坐标、法线和几个变换矩阵。

        我使用VAO储存坐标,以GL_TRIANGLE_STRIP方式绘制的方法绘制网格。由于上面计算的坐标是按照从x到y逐行存储的,不能直接用于三角形绘制,原因如下图所示:

vertex-data        之前计算得到的坐标保存在了pt_strip[]中,需要把里面的点重新排序存入vertex_data[]中,再把vertex_data[]中的数据放入VAO(储存在显存中)。变换代码如下:

        对法线的处理也是如此。产生和绑定VAO的代码如下:

绘制网格的代码如下:

使用GLM计算模型视图矩阵、透视投影矩阵和法线变换矩阵:

        为了使glm::perspective()的参数符合自己的习惯,我把glm/gtc/matrix_transform.inl的第254到264行改成如下内容:

vertex shader代码如下:

绘制的网格效果如下:

wave-gerstner-wire


添加材质和光照

        我使用了一张512*512大小的贴图,格式为tga,图像可以在文章末尾所给的链接获取。

读取和绑定贴图:

        initTexture()函数用来读取贴图文件和生成贴图对象,这里就不详细介绍了,具体细节可以参考文章末尾给出的代码链接。为了试验法线贴图,我使用了两张贴图,在每次绘制时要交替启用两张贴图,以保证fragment shader能同时读到两张贴图:

添加材质后的效果:

wave-gerstner-texture

        经过比较,我觉得Ward的各向异性光照效果比较好,其原理可以参考:D3DBook:(Lighting) Ward – GPWiki

fragment shader代码如下:

添加光照后的效果:

wave-gerstner-light


全部代码和贴图可以在这里查看:

johnhany/OpenGLProjects/GerstnerWave


2014.7.6更新:

        为了使模型视图矩阵和透视投影矩阵更符合OpenGL的规范,调整了模型视图矩阵的计算过程,透视投影矩阵的构成,同时相应调整了光源的位置

2015.3.29更新:

          该方法在Visual Studio 2012下使用OpenGL 4.5 + GLEW + GLFW的实现可以在这里下载,所需的配置文件在这里下载。

2015.5.9更新:

          修改了网格内坐标变换计算的错误

2015.11.26更新:

          该方法在Visual Studio 2012下使用OpenGL 4.5 + GLEW + GLFW的实现在这里下载(项目默认目标平台是x64)。

共有34条评论

  1. 你好,也就是说你这个只是改变了顶点的高度值,并没有改变顶点在水平面的坐标?

    1. 是的,在计算高度的过程中已经考虑了坐标点在水平方向的平移。所以这种很均匀的网格只适合用来模拟比较平缓的水面。

  2. 博主,能说说gerstnerZ和calcuWave方法具体实现原理吗?我现在想用分形噪声和海浪谱来模拟海面,您有没有做过这块的研究,跪求指导和建议!

    1. 因为我的代码中没有实时计算Gestner波形,只是预先保存了两个参数不同的半波(坐标范围(0,0)-(200,50)),然后用gerstnerZ来缩放和内插,适应不同的波长和幅度。而calcuWave里三个循环块的作用分别是在每个方格点叠加所有波的Z值;为每个方格点计算法向;和把密集保存在数组中的点重新排列成一条条的三角形带,便于OpenGL直接调用绘制多边形。

      由于目前CG并不是我的研究重点,关于水面模拟的其他技术也不是十分了解,所以恐怕很难帮得上你:)

        1. d就是公式z=g(x,y)下面图中的d,d的方向代表单个波的传播方向。模板波是二维的(x_in和z),实际的波是三维的(x,y和z)。首先根据三维空间水平网格上x,y坐标值推算出每个波各自传播方向上的d(也就是图中的d),作为用于求该波高度的横坐标。d+波速*时间就是当前时刻的x_in,通过对x_in插值求出z,这个z就是该波在三维的网格空间中的高度。随着时间逐渐增加,x_in也逐渐变化,波动就产生了。

  3. 您好,求波高的公式里面的d是如何计算的,根据您的代码我看的不是很懂,希望您帮忙解答一下,不胜感激

    wave = 0.0;

    for(int w=0; w<WAVE_COUNT; w++){

        d = (pt_strip[index] - values.wave_start[w*2] + (pt_strip[index+1] - values.wave_start[w*2+1]) * tan(values.wave_dir[w])) * cos(values.wave_dir[w]);

        wave += values.wave_height[w] - gerstnerZ(values.wave_length[w], values.wave_height[w], d + values.wave_speed[w] * values.time, gerstner_pt_a);

    }

    pt_strip[index+2] = START_Z + wave;

    1. d其实就是根据z=g(x,y)那个公式计算的,只是把sin拆成cos*tan,然后提出cos。这个公式是为了把任意方向波面的x坐标转换到水平方向的公共坐标系内。

      1. 你好,我现在有波高,波向,具体点的经纬度,请问该如何模拟近岸海浪,该片区域大概1w个点

        1. 我不太确定用Gerstner波模拟近岸海浪能否达到你的要求,如果你觉得形状可以接受的话,已知波高,波向和点的经纬度,就可以直接根据坐标来绘制了。如果点的经纬坐标不规则,关键要找到一个方法把散点用多边形面表示出来,最基本的就属Delaunay三角剖分了吧。

  4. 我们的游戏里面要用自己做一个水面,看了这篇文章好几次了,深有学习。

  5. 前辈,可以帮我看看我的程序应该怎么用gerstner波么?我不太看懂这个波和您的处理方法。

    void Initmesh()
    {
        //创建海浪二维网格
        float Lx = 0.0f;
        float Lz;
       
        for (int x = 0; x < SIZEX; x++)
        {
            Lz = 0.0;
           
            //海浪网格
            for (int z = 0; z < (SIZEZ/2 + STARTZ); z++)
            {
                //网格中心点为原点,分布在XZ平面,Y值均设为0
                mesh[x][z][0] = ((float) SIZEX*0.5) – Lx;                    
                mesh[x][z][1] = 0.0f;                                    
                mesh[x][z][2] = (float) STARTZ – Lz;                
                Lz ++;
            }
            Lx ++;
        }

    }

    网格是XZ平面上SIZEX(150)*SIZEZ(150)的  四个角的坐标分别是(-75x,20z,0y)(75x,20z,0y)(-75x,-75z,0y)(75x,-75z,0y)   每个点的坐标都按XZY  的顺序 存在mesh中

    现在每个点Y都是0    要怎么处理才能得到Y的gerstner的值

    1. 如果是沿着x轴绘制的话,可以这样计算y坐标值:

      mesh[x][z][1] = A*cos( (double)(Lx – w*t) );

      再计算偏移后的x坐标值:

      mesh[x][z][0] = Lx – Q*Di*A*sin( (double)(Di*Lx – w*t) );

      其中Q,Di,A,w,t的含义与公式里的对应。需要注意用均匀的矩形网格坐标计算x和y,计算得到的x就不再均匀了。

      1. 谢谢前辈。

        还有

        static const GLfloat wave_para[6][6] = {

         

        { 1.6, 0.12, 0.9, 0.06, 0.0, 0.0 },

         

        { 1.3, 0.1, 1.14, 0.09, 0.0, 0.0 },

         

        { 0.2, 0.01, 0.8, 0.08, 0.0, 0.0 },

         

        { 0.18, 0.008, 1.05, 0.1, 0.0, 0.0 },

         

        { 0.23, 0.005, 1.15, 0.09, 0.0, 0.0 },

         

        { 0.12, 0.003, 0.97, 0.14, 0.0, 0.0 }

         

        };

         

         

         

        static const GLfloat gerstner_pt_a[22] = {

         

        0.0,0.0, 41.8,1.4, 77.5,5.2, 107.6,10.9,

         

        132.4,17.7, 152.3,25.0, 167.9,32.4, 179.8,39.2,

         

        188.6,44.8, 195.0,48.5, 200.0,50.0

         

        };

         

        static const GLfloat gerstner_pt_b[22] = {

         

        0.0,0.0, 27.7,1.4, 52.9,5.2, 75.9,10.8,

         

        97.2,17.6, 116.8,25.0, 135.1,32.4, 152.4,39.2,

         

        168.8,44.8, 184.6,48.5, 200.0,50.0

         

        };

        您这三块数字有什么说法没?1.6,0.12,0.9,0.6 从哪里来的

        坐标范围为什么是(0,0)——(200,50)

        麻烦前辈说一下,谢谢

        1. 不要这么客气,,我只是个学生

          因为我是用6个不同的波合成,wave_para用来存放每个波的参数,依次为波长、振幅、方向、速度和起始坐标。每个参数是多次尝试确定的,只是为了整体效果更好。

          这6个波实际上只有两种波形,分别存放在gerstner_pt_a和gerstner_pt_b中,相当于两个模板,是提前计算好的。(200,50)是任选的,(0,0)到(200,50)刚好是半个波形。

          绘制新波形时选出一个模板,横向和纵向缩放适应波长和振幅。渲染时网格点的坐标由模板插值得到,不需要用三角函数实时计算Gerstner波,这样也是为了节省计算量。

          1. 谢谢前辈,我正在做本科毕设,刚接触图形编程不久,您的代码真实帮了大忙,用到我的程序里,很好的实现gerstner的变换,谢谢您。

  6. HI,你好,我是在开发海体的时候,搜索Gerstner波的时候搜索到你的文章的,非常感兴趣,而且也看到了你的一些素描的东西,更加佩服了,希望可以交个朋友.

  7. 您好,想请问一下,二维Gerstner波表示为y=f(x)的话,这个f(x)方程应该怎么列呢……

    1. Gerstner波一般都用参数方程的形式(x=x(p),y=y(p))来表示。三角函数的反函数分段表示本身就比较繁琐,如果想用一行公式来表示,也只能以[k*PI,(k+1)*PI)和[(k+1)*PI,(k+2)*PI)分段(当然还要考虑参数D,w,t)从方程y=y(p)解出p=p(y),再代入x=x(p),得到x=x(p(y))=q(y)的形式。q(y)的形式一定很复杂,所以不确定能否求得它的反函数以表示为y=f(x)的形式。

  8. 楼主真心好人一枚,对于我们这些新手来说真是很好的资源,非常非常感谢!!

  9. 博主你好,最近我也在研究opengl模拟水面,发现网上资料很少,我又看不懂《GPU GEMS》,直到发现了你这篇博文,不过我将你的github上的源码下下来,发现源码不是很完整,于是我添加了头文件,链接库的声明,也修改了matrix_transform.inl,配好了环境,终于没有报错了,不过运行出来还是黑屏。所以想问博主能给我发个整个工程的打包文件吗?谢谢!

      1. 下载链接已经更新:http://pan.baidu.com/s/1dDFgmB3

        而且在GitHub目录里的代码一般是最新的:https://github.com/johnhany/OpenGLProjects/tree/master/GerstnerWave

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