水面的简单渲染 – Gerstner波

        渲染三维场景时经常会遇到需要渲染各种水体的情况,比如湖泊、河流、海洋等,不仅需要水体表面要有接近真实的随时间而变化的波动,还要有令人信服的颜色、反射光、透明度等细节。实时渲染水面的方法有很多,从简单的若干正弦波叠加,到《GPU Gems》中介绍的叠加Gerstner波的方法,再到如今GPU在线计算FFT得到表面高度,都是以追求效果更加逼真的同时保证计算的高效实时。我用OpenGL实现了通过合成Gestner波产生水波的方法,具体过程如下。


开发环境

Windows 7 x64,Visual Studio 2010,OpenGL版本3.0,GLSL版本1.3。

freeglut 2.8.1,GLM 0.9.5.1。GLM用于产生模型视图矩阵、透视投影矩阵和法线变换矩阵。


正弦函数波

        在一些数学书中介绍正弦函数时会提到“理想情况下的水波是正弦形状的”,但实际上,单独的水波应该是波峰尖、波谷宽的。如果用正弦波来表现这样的效果,可以选择如下变换:

equation-1        由于正弦函数的值域是[-1,1],缩放到[0,1]区间,再做幂运算,会使函数值减小,而且距离0越小的值减小得越多。这样就能产生波峰尖、波谷宽的形状。

        下面是一组k分别等于1.0,1.5和2.0时的情况,可见k越大(k>=1),形状就越明显。

sin-multi

        但是只有一个参数决定这种形状过于简单,而且在CG中希望在细节多的地方(波峰)网格点较密集,在细节少的地方(波谷)网格点较稀疏。用正弦函数绘制时,如果想提高细节,只能整体提高x的细分程度,也会在波谷处增加大量的多余计算。


Gerstner波

        Gerstner波的诞生早于计算机图形学(CG),它最初在物理中用于水波的模拟。由于它的形状比较真实,而且计算量不大,所以被广泛用于CG中水波的模拟。

        Gerstner波以参数方程的形式给出:

equation-2        自变量为p,参数Q、D、A用来控制形状。Q控制波峰的尖锐度,D控制波长,A为振幅。

gerstner-single
        Q应为较小的值,若Q很大,会在波峰处产生环,破坏波的形状。比如:

gerstner-circle        观察x(p)的表达式可以看出,与正弦波相比,Gerstner波在波峰处的点更紧凑,在波谷处更稀疏:

gerstner-and-sin


波的合成

        为了产生真实的水面,需要把若干不同方向、不同参数的Gerstner波合成为一个波。即:

equation-3        在三维空间中绘制水波这样高度值频繁变化的面时,一般采用规则网格来绘制,即在x-y平面上画一张均匀的网格,对网格上的每一个点计算它的高度值(z值),这样就产生了一张高低起伏的面。随着时间的变化,每个点的高度也随之变化,就产生了动态的面。

        为了把这张网格与二维的Gerstner波结合起来,需要进行如下转换:

        假设二维Gerstner波表示为y=f(x),三维网格表示为z=g(x,y)。则:

1564654

        (x0,y0)表示波的起点,theta角表示波传播的方向。

grid        初始时,网格上每点的高度设为0,每叠加一个波,就根据上面的式子计算出一个高度,加在z上。计算完所有的波后,就实现了多个波的叠加。

        由于Gerstner参数方程也在改变x(即上图的d),直接应用原式计算会增加复杂度。同时,为了尽可能地减小计算量,我采用两种固定形状的Gerstner波,每种波用11对坐标表示,计算f(x)时只需要在这11个点中计算线性内插即可。

两种波形。第一个波峰较尖,用来绘制细小的水波,第二个波峰较宽,用来绘制波长较长的水波。

static const GLfloat gerstner_pt_a[22] = {
	0.0,0.0, 41.8,1.4, 77.5,5.2, 107.6,10.9,
	132.4,17.7, 152.3,25.0, 167.9,32.4, 179.8,39.2,
	188.6,44.8, 195.0,48.5, 200.0,50.0
};
static const GLfloat gerstner_pt_b[22] = {
	0.0,0.0, 27.7,1.4, 52.9,5.2, 75.9,10.8,
	97.2,17.6, 116.8,25.0, 135.1,32.4, 152.4,39.2,
	168.8,44.8, 184.6,48.5, 200.0,50.0
};

线性内插函数:

static float gerstnerZ(float w_length, float w_height, float x_in, const GLfloat gerstner[22])
{
	x_in = x_in * 400.0 / w_length;

	while(x_in < 0.0)
		x_in += 400.0;
	while(x_in > 400.0)
		x_in -= 400.0;
	if(x_in > 200.0)
		x_in = 400.0 - x_in;

	int i = 0;
	float yScale = w_height/50.0;
	while(i<18 && (x_in<gerstner[i] || x_in>=gerstner[i+2]))
		i+=2;
	if(x_in == gerstner[i])
		return gerstner[i+1] * yScale;
	if(x_in > gerstner[i])
		return ((gerstner[i+3]-gerstner[i+1]) * (x_in-gerstner[i]) / (gerstner[i+2]-gerstner[i]) + gerstner[i+3]) * yScale;
}

用一个结构体来保存时间和每个波的波长、振幅、方向、频率和起始坐标:

static struct {
	GLfloat time;
	GLfloat wave_length[WAVE_COUNT],
		wave_height[WAVE_COUNT],
		wave_dir[WAVE_COUNT],
		wave_speed[WAVE_COUNT],
		wave_start[WAVE_COUNT*2];
} values;

计算每个网格点的z值:

wave = 0.0;
for(int w=0; w<WAVE_COUNT; w++){
	d = (pt_strip[index] - values.wave_start[w*2] + (pt_strip[index+1] - values.wave_start[w*2+1]) * tan(values.wave_dir[w])) * cos(values.wave_dir[w]);
	wave += values.wave_height[w] - gerstnerZ(values.wave_length[w], values.wave_height[w], d + values.wave_speed[w] * values.time, gerstner_pt_a);
}
pt_strip[index+2] = START_Z + wave;

法线的计算

        为了计算光照,需要知道每个顶点的法线方向。法线是根据网格上相邻4点的坐标计算的。

normal        由于每个点与四个网格面相邻,每个面有独立的法线,所以应该把4个面的法线的均值作为这个顶点的法线。所谓的“均值”就是把4个规范化的法线相加在除以4。CG中涉及法线的计算一般都需要在计算前规范化法线向量(使其长度为1),但因为每个网格面在x和y方向上的尺寸相同,所以法线不需要规范化就可以相加,只对加和后的法线做一次规范化即可。这样就减少了四次规范化和一次除法。

equation-5规范化函数:

static int normalizeF(float in[], float out[], int count)
{
	int t=0;
	float l = 0.0;

	if(count <= 0.0){
		printf("normalizeF(): Number of dimensions should be larger than zero.\n");
		return 1;
	}
	while(t<count && in[t]<0.0000001 && in[t]>-0.0000001){
		t++;
	}
	if(t == count){
		printf("normalizeF(): The input vector is too small.\n");
		return 1;
	}
	for(t=0; t<count; t++)
		l += in[t] * in[t];
	if(l < 0.0000001){
		l = 0.0;
		for(t=0; t<count; t++)
			in[t] *= 10000.0;
		for(t=0; t<count; t++)
			l += in[t] * in[t];
	}
	l = sqrt(l);
	for(t=0; t<count; t++)
		out[t] /= l;

	return 0;
}

        这个函数里需要注意的是,由于使用浮点数进行计算,在小数点后第8位开始容易产生误差,如果输入向量每个分量都很小,则很难保证计算结果的正确性;同时,如果输入向量的长度很小,则需要先把输入向量扩大10000倍,再进行计算,以减小误差对计算结果的影响。这个函数还支持原地计算(即输入和输出为同一个向量),适用范围是很广的。

法线计算形式如下:

int p0 = index-STRIP_LENGTH*3, p1 = index+3, p2 = index+STRIP_LENGTH*3, p3 = index-3;
float xa, ya, za, xb, yb, zb;
if(i > 0){
	if(j > 0){
		xa = pt_strip[p0] - pt_strip[index], ya = pt_strip[p0+1] - pt_strip[index+1], za = pt_strip[p0+2] - pt_strip[index+2];
		xb = pt_strip[p3] - pt_strip[index], yb = pt_strip[p3+1] - pt_strip[index+1], zb = pt_strip[p3+2] - pt_strip[index+2];
		pt_normal[index] += ya*zb-yb*za;
		pt_normal[index+1] += xb*za-xa*zb;
		pt_normal[index+2] += xa*yb-xb*ya;
	}
	if(j < STRIP_LENGTH-1){
		xa = pt_strip[p1] - pt_strip[index], ya = pt_strip[p1+1] - pt_strip[index+1], za = pt_strip[p1+2] - pt_strip[index+2];
		xb = pt_strip[p0] - pt_strip[index], yb = pt_strip[p0+1] - pt_strip[index+1], zb = pt_strip[p0+2] - pt_strip[index+2];
		pt_normal[index] += ya*zb-yb*za;
		pt_normal[index+1] += xb*za-xa*zb;
		pt_normal[index+2] += xa*yb-xb*ya;
	}
}
if(i < STRIP_COUNT-1){
	if(j > 0){
		xa = pt_strip[p3] - pt_strip[index], ya = pt_strip[p3+1] - pt_strip[index+1], za = pt_strip[p3+2] - pt_strip[index+2];
		xb = pt_strip[p2] - pt_strip[index], yb = pt_strip[p2+1] - pt_strip[index+1], zb = pt_strip[p2+2] - pt_strip[index+2];
		pt_normal[index] += ya*zb-yb*za;
		pt_normal[index+1] += xb*za-xa*zb;
		pt_normal[index+2] += xa*yb-xb*ya;
	}
	if(j < STRIP_LENGTH-1){
		xa = pt_strip[p2] - pt_strip[index], ya = pt_strip[p2+1] - pt_strip[index+1], za = pt_strip[p2+2] - pt_strip[index+2];
		xb = pt_strip[p1] - pt_strip[index], yb = pt_strip[p1+1] - pt_strip[index+1], zb = pt_strip[p1+2] - pt_strip[index+2];
		pt_normal[index] += ya*zb-yb*za;
		pt_normal[index+1] += xb*za-xa*zb;
		pt_normal[index+2] += xa*yb-xb*ya;
	}
}
if(normalizeF(&pt_normal[index], &pt_normal[index], 3))
	printf("%d\t%d\n", index/3/STRIP_LENGTH, (index/3)%STRIP_LENGTH);
index += 3;

网格的绘制

        最初编写代码时,我考虑过在vertex shader中计算网格坐标和投影矩阵,但在vertex shader中无法读取相邻点的坐标,不能用上面的方法计算法线。我改用根据gerstner_pt_a[]和gerstner_pt_b[]计算单个波的法线,再合成每个波的法线来近似顶点的法线(在理论上是不严谨的),但由于GLSL 1.3没有现成的对矩阵求逆的函数(inverse()在GLSL 1.5才开始支持),从而无法快捷地获得NormalMatrix,不能得到正确的法线方向。所以只好放弃,采用离线计算网格坐标、法线和几个变换矩阵。

        我使用VAO储存坐标,以GL_TRIANGLE_STRIP方式绘制的方法绘制网格。由于上面计算的坐标是按照从x到y逐行存储的,不能直接用于三角形绘制,原因如下图所示:

vertex-data        之前计算得到的坐标保存在了pt_strip[]中,需要把里面的点重新排序存入vertex_data[]中,再把vertex_data[]中的数据放入VAO(储存在显存中)。变换代码如下:

for(int c=0; c<(STRIP_COUNT-1); c++)
{
	for(int l=0; l<2*STRIP_LENGTH; l++)
	{
		if(l%2 == 1){
			pt = c*STRIP_LENGTH + l/2;
		}else{
			pt = c*STRIP_LENGTH + l/2 + STRIP_LENGTH;
		}
		index = STRIP_LENGTH*2*c+l;
		for(int i=0; i<3; i++){
			vertex_data[index*3+i] = pt_strip[pt*3+i];
			normal_data[index*3+i] = pt_normal[pt*3+i];
		}
	}
}

        对法线的处理也是如此。产生和绑定VAO的代码如下:

names.attributes.position = glGetAttribLocation(names.program, "position");
glGenBuffers(1, &names.vertex_buffer);

names.attributes.normal = glGetAttribLocation(names.program, "normal");
glGenBuffers(1, &names.normal_buffer);

glBindBuffer(GL_ARRAY_BUFFER, names.vertex_buffer);
glBufferData(GL_ARRAY_BUFFER, sizeof(vertex_data), vertex_data, GL_STATIC_DRAW);
glVertexAttribPointer(names.attributes.position, 3, GL_FLOAT, GL_FALSE, sizeof(GLfloat)*3, (void*)0);
glEnableVertexAttribArray(names.attributes.position);

glBindBuffer(GL_ARRAY_BUFFER, names.normal_buffer);
glBufferData(GL_ARRAY_BUFFER, sizeof(normal_data), normal_data, GL_STATIC_DRAW);
glVertexAttribPointer(names.attributes.normal, 3, GL_FLOAT, GL_FALSE, sizeof(GLfloat)*3, (void*)0);
glEnableVertexAttribArray(names.attributes.normal);

绘制网格的代码如下:

for(int c=0; c<(STRIP_COUNT-1); c++)
	glDrawArrays(GL_TRIANGLE_STRIP, STRIP_LENGTH*2*c, STRIP_LENGTH*2);

使用GLM计算模型视图矩阵、透视投影矩阵和法线变换矩阵:

glm::mat4 Projection = glm::perspective(45.0f, (float)(SCREEN_WIDTH/SCREEN_HEIGHT), 1.0f, 100.f);
glm::mat4 viewTransMat = glm::translate(glm::mat4(1.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, -2.5f));
glm::mat4 viewRotateMat = glm::rotate(viewTransMat, -45.0f, glm::vec3(1.0f, 0.0f, 0.0f));
glm::mat4 ModelViewMat = glm::scale(viewRotateMat, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 1.0f));
glm::mat3 NormalMat = glm::transpose(glm::inverse(glm::mat3(ModelViewMat)));
glUniformMatrix4fv(glGetUniformLocation(names.program, "modelViewMat"), 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(ModelViewMat));
glUniformMatrix4fv(glGetUniformLocation(names.program, "perspProjMat"), 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(Projection));
glUniformMatrix3fv(glGetUniformLocation(names.program, "normalMat"), 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(NormalMat));

        为了使glm::perspective()的参数符合自己的习惯,我把glm/gtc/matrix_transform.inl的第254到264行改成如下内容:

		valType const rad = glm::radians(fovy);
#endif
 
		valType tanHalfFovy = tan(rad);
 
		detail::tmat4x4<valType, defaultp> Result(valType(0));
		Result[0][0] = valType(1) / (tanHalfFovy);
		Result[1][1] = (aspect) / (tanHalfFovy);
		Result[2][2] = - (zFar + zNear) / (zFar - zNear);
		Result[2][3] = - (valType(2) * zFar * zNear) / (zFar - zNear);
		Result[3][2] = - valType(1);

vertex shader代码如下:

#version 130

attribute vec3 position;
attribute vec3 normal;

uniform mat4 modelViewMat;
uniform mat4 perspProjMat;
uniform mat3 normalMat;

uniform float time;

varying vec2 texture_coord;

varying vec3 normalVect;
varying vec3 lightVect;
varying vec3 eyeVect;
varying vec3 halfWayVect;
varying vec3 reflectVect;

void main()
{
    gl_Position = perspProjMat * modelViewMat * vec4(position, 1.0);

	float tex_x = (position.x + time/20.0) / 8.0 + 0.5;
	float tex_y = 0.5 - (position.y + time/25.0) / 5.0;
	texture_coord = vec2(tex_x, tex_y);

	vec3 eyePos = vec3(0.0, 0.0, 5.0);
	vec3 lightPos = vec3(1.0, 3.0, 0.0);
	vec3 ptVertex = vec3(modelViewMat * vec4(position, 1.0));

	eyeVect = normalize(eyePos - ptVertex);
	lightVect = normalize(lightPos - ptVertex);
	halfWayVect = eyeVect + lightVect;
	normalVect = normalMat * normal;
	reflectVect = 1.0 * eyeVect - 2.0 * dot(-1.0*eyeVect, normalVect) * normalVect;
}

绘制的网格效果如下:

wave-gerstner-wire


添加材质和光照

        我使用了一张512*512大小的贴图,格式为tga,图像可以在文章末尾所给的链接获取。

读取和绑定贴图:

names.diffuse_texture = initTexture("water-texture-2.tga");
names.uniforms.diffuse_texture = glGetUniformLocation(names.program, "textures[0]");
glUniform1i(names.uniforms.diffuse_texture, 0);

names.normal_texture = initTexture("water-texture-2-normal.tga");
names.uniforms.normal_texture = glGetUniformLocation(names.program, "textures[1]");
glUniform1i(names.uniforms.normal_texture, 1);

        initTexture()函数用来读取贴图文件和生成贴图对象,这里就不详细介绍了,具体细节可以参考文章末尾给出的代码链接。为了试验法线贴图,我使用了两张贴图,在每次绘制时要交替启用两张贴图,以保证fragment shader能同时读到两张贴图:

glActiveTexture(GL_TEXTURE1);
glBindTexture(GL_TEXTURE_2D, names.normal_texture);

glActiveTexture(GL_TEXTURE0);
glBindTexture(GL_TEXTURE_2D, names.diffuse_texture);

添加材质后的效果:

wave-gerstner-texture

        经过比较,我觉得Ward的各向异性光照效果比较好,其原理可以参考:D3DBook:(Lighting) Ward - GPWiki

fragment shader代码如下:

#version 130

uniform sampler2D textures[2];

uniform vec4 materAmbient, materSpecular;
uniform vec4 lightDiffuse, lightAmbient, lightSpecular;
uniform vec4 envirAmbient;

varying vec2 texture_coord;

varying vec3 normalVect;
varying vec3 lightVect;
varying vec3 eyeVect;
varying vec3 halfWayVect;
varying vec3 reflectVect;

void main()
{
	vec4 diffuse, ambient, globalAmt;
	vec4 specular;
	vec3 eyeDir, lightDir, normalDir, halfWayDir, reflectDir;
	float NdotL, NdotH, NdotR, S, temp, delta;
	float alpha = 0.4;
	
	eyeDir = normalize(eyeVect);
	lightDir = normalize(lightVect);
	normalDir = normalize(normalVect);
	halfWayDir = normalize(halfWayVect);
	reflectDir = normalize(reflectVect);
	
	NdotL = max(dot(normalDir, lightDir), 0.0);
	NdotH = max(dot(normalDir, halfWayDir), 0.0);
	NdotR = max(dot(normalDir, reflectDir), 0.0);
	
	delta = acos(NdotH);
	temp = -1.0 * tan(delta) * tan(delta) / alpha / alpha;
	S = pow(2.71828, temp) / 4.0 / 3.14159 / alpha / alpha / pow(NdotL*NdotR, 0.5);
	
	diffuse = texture2D(textures[0], texture_coord) * lightDiffuse;
	globalAmt = envirAmbient * materAmbient;
	ambient = envirAmbient * lightAmbient;
	specular = materSpecular * lightSpecular;
	
	gl_FragColor = NdotL * (diffuse + specular * S) + globalAmt;
}

添加光照后的效果:

wave-gerstner-light


全部代码和贴图可以在这里查看:

johnhany/OpenGLProjects/GerstnerWave


2014.7.6更新:

        为了使模型视图矩阵和透视投影矩阵更符合OpenGL的规范,调整了模型视图矩阵的计算过程,透视投影矩阵的构成,同时相应调整了光源的位置

2015.3.29更新:

          该方法在Visual Studio 2012下使用OpenGL 4.5 + GLEW + GLFW的实现可以在这里下载,所需的配置文件在这里下载。

2015.5.9更新:

          修改了网格内坐标变换计算的错误

2015.11.26更新:

          该方法在Visual Studio 2012下使用OpenGL 4.5 + GLEW + GLFW的实现在这里下载(项目默认目标平台是x64)。

把这篇文章分享给你的朋友:
Subscribe
订阅评论
guest
41 评论
最新
最旧 得票最多
Inline Feedbacks
View all comments
天天闹闹
天天闹闹
1 年 之前

你好,我按照http://pan.baidu.com/s/1dDFgmB3压缩包来下的,环境我搭的的是是glew,glfw,OpenGL3.3,glm,但是一直报错,说是:无法解析外部指令。能告知是什么原因吗?

哈哈嘻老巢
哈哈嘻老巢
1 年 之前

博主,你研究过用webGL做海水模拟吗?

王叔叔
王叔叔
2 年 之前

这个非常符合我现在的项目需求,请问这个效果可以移植到Android项目中吗?

TSAI
TSAI
2 年 之前

深入的啃了这个博文以及相关源码。当中一些优化方法真的很好。但是重现的时候发现了一个问题:水的材质似乎不够逼真,然而谷歌后也查不到经验矩阵(就是您materAmbient[]等矩阵中的数据),请问这些数据都是您不断试验出来的么,还是有相关的参考

TSAI
TSAI
Reply to  John Hany
2 年 之前

询问了一下大学里图形学的老师,如果要真正逼真的话仅靠材质公式是完全不够的,还需要考虑折射等光线的计算,这已经超出这篇文章的范围,所以我后来换了一个思路,考虑在谷歌上搜寻更好的材质贴图,结果效果好了很多

叶江
叶江
3 年 之前

顶点法向量的计算方法很巧妙啊!

顺便问一下,GPU Gems http://http.developer.nvidia.com/GPUGems/gpugems_ch01.html 上的公式 (12) 是怎么求的?

我按照他说的 N = B x T, 却怎么也消不去求和的那些项

luochen
luochen
3 年 之前

你好,也就是说你这个只是改变了顶点的高度值,并没有改变顶点在水平面的坐标?

trackback
4 年 之前

[…]         这是一个用合成的Gerstner波绘制水面的例子,根据《水面的简单渲染 – Gerstner波》修改而来。完整代码下载地址:http://pan.baidu.com/s/1gdzoe4b,所需的配置文件下载地址:http://pan.baidu.com/s/1pJ81kyZ。项目托管地址:https://github.com/johnhany/OpenGLProjects/tree/master/GerstnerWave。 […]

yan
yan
4 年 之前

博主,能说说gerstnerZ和calcuWave方法具体实现原理吗?我现在想用分形噪声和海浪谱来模拟海面,您有没有做过这块的研究,跪求指导和建议!

yan
yan
Reply to  John Hany
4 年 之前

您好,请问参数d和x_in分别表示什么?怎么由插值函数控制波动的?

xiangxuehua
xiangxuehua
4 年 之前

百度网盘下载下来,配置好了,编译不过去是不是有啥要修改?

Nigle
Nigle
5 年 之前

您好,求波高的公式里面的d是如何计算的,根据您的代码我看的不是很懂,希望您帮忙解答一下,不胜感激

wave = 0.0;

for(int w=0; w<WAVE_COUNT; w++){

    d = (pt_strip[index] - values.wave_start[w*2] + (pt_strip[index+1] - values.wave_start[w*2+1]) * tan(values.wave_dir[w])) * cos(values.wave_dir[w]);

    wave += values.wave_height[w] - gerstnerZ(values.wave_length[w], values.wave_height[w], d + values.wave_speed[w] * values.time, gerstner_pt_a);

}

pt_strip[index+2] = START_Z + wave;

Mir right
Mir right
Reply to  John Hany
3 年 之前

你好,我现在有波高,波向,具体点的经纬度,请问该如何模拟近岸海浪,该片区域大概1w个点

leiwei
leiwei
5 年 之前

我们的游戏里面要用自己做一个水面,看了这篇文章好几次了,深有学习。

leiwei
leiwei
Reply to  John Hany
5 年 之前

相当有帮助啊!可以跟你用qq交流请教下不?我的是:43008117.

lee
lee
5 年 之前

前辈,可以帮我看看我的程序应该怎么用gerstner波么?我不太看懂这个波和您的处理方法。 void Initmesh() {     //创建海浪二维网格  … 阅读更多 »

lee
lee
Reply to  John Hany
5 年 之前

谢谢前辈。

还有

static const GLfloat wave_para[6][6] = {

 

{ 1.6, 0.12, 0.9, 0.06, 0.0, 0.0 },

 

{ 1.3, 0.1, 1.14, 0.09, 0.0, 0.0 },

 

{ 0.2, 0.01, 0.8, 0.08, 0.0, 0.0 },

 

{ 0.18, 0.008, 1.05, 0.1, 0.0, 0.0 },

 

{ 0.23, 0.005, 1.15, 0.09, 0.0, 0.0 },

 

{ 0.12, 0.003, 0.97, 0.14, 0.0, 0.0 }

 

};

 

 

 

static const GLfloat gerstner_pt_a[22] = {

 

0.0,0.0, 41.8,1.4, 77.5,5.2, 107.6,10.9,

 

132.4,17.7, 152.3,25.0, 167.9,32.4, 179.8,39.2,

 

188.6,44.8, 195.0,48.5, 200.0,50.0

 

};

 

static const GLfloat gerstner_pt_b[22] = {

 

0.0,0.0, 27.7,1.4, 52.9,5.2, 75.9,10.8,

 

97.2,17.6, 116.8,25.0, 135.1,32.4, 152.4,39.2,

 

168.8,44.8, 184.6,48.5, 200.0,50.0

 

};

您这三块数字有什么说法没?1.6,0.12,0.9,0.6 从哪里来的

坐标范围为什么是(0,0)——(200,50)

麻烦前辈说一下,谢谢

lee
lee
Reply to  John Hany
5 年 之前

谢谢前辈,我正在做本科毕设,刚接触图形编程不久,您的代码真实帮了大忙,用到我的程序里,很好的实现gerstner的变换,谢谢您。

neal
neal
5 年 之前

HI,你好,我是在开发海体的时候,搜索Gerstner波的时候搜索到你的文章的,非常感兴趣,而且也看到了你的一些素描的东西,更加佩服了,希望可以交个朋友.

YYKU
YYKU
5 年 之前

您好,想请问一下,二维Gerstner波表示为y=f(x)的话,这个f(x)方程应该怎么列呢……

moonffd
moonffd
5 年 之前

楼主真心好人一枚,对于我们这些新手来说真是很好的资源,非常非常感谢!!

段冲
段冲
5 年 之前

博主真心好人一枚

oxf1034
oxf1034
6 年 之前

博主你好,最近我也在研究opengl模拟水面,发现网上资料很少,我又看不懂《GPU GEMS》,直到发现了你这篇博文,不过我将你的github上的源码下下来,发现源码不是很完整,于是我添加了头文件,链接库的声明,也修改了matrix_transform.inl,配好了环境,终于没有报错了,不过运行出来还是黑屏。所以想问博主能给我发个整个工程的打包文件吗?谢谢!

xiangxuehua
xiangxuehua
Reply to  oxf1034
4 年 之前

我这也是,黑的